Как са се учили да броят преди два века

- Ученико, кажи ми кое е най-важно на земята?
- Честни отче духовен,
ще ти кажа кое е най-важно на земята:
Един син Мариин, Исус Христос над всички царства,
Две плочи Моисееви,
Три йерарха велики,
Четири евангелисти,
Пет рани Христови,
Шест събора Богородични,
Седем тайни църковни,
Осем милостини Божи,
Девет чина ангелски,
Десет заповеди Божи,
Единайсет небеса,
Дванайсет апостоли.

от ръкописен Молитвеник от 19 век

Има вариант на броилката и в обратен ред, от 12 към 1.

Едно зърно ориз (математическа приказка)

Приказката е индийски фолклор. Намерих я в един англоезичен сайт като методическа разработка по информационни технологии (Ексел). Но спокойно може да се ползва и за задача по информатика, макар и за създаване на съвсем проста програмка на начално ниво.

Имало едно време един раджа, който вярвал, че е мъдър и справедлив, какъвто трябва да е всеки раджа. Постановил селяните да му дават по-голямата част от оризовата си реколта.

- В моите хамбари - казал раджата - оризът ще бъде съхраняван добре и ако има лоша година, ще разполагаме със запас от храна.

Няколко години подред раджата прибирал почти цялата реколта на селяните и хамбарите му пращели от ориз. Дошла лоша година и настъпил глад. Селяните нямали ориз нито за храна, нито за семе.

- Ваше Величество, нека отворим хамбарите и раздадем ориз на хората! - помолил го един ден министърът. - Обещали сме.

- Обещано, необещано, откъде да знам колко ще продължи гладът! - троснал се раджата. - Трябва да имам ориз за себе си. Нима раджата може да стои гладен?

И като напук решил да организира пир за себе си и придворните. Изпратили един слон с два коша до хамбарите за ориз. Когато слонът се връщал натоварен към двореца, от единия прокъсан кош по пътя започнал да се сипе ориз. Малко момиче на име Рани видяло това. Тръгнало до слона, като постлало полата си така, че падащите зърна да се сипят в нея. Слонът стигнал до двореца и стоящият пред него страж креснал на детето:

- Стой, крадло такава! Накъде с тоя ориз?

- Аз не съм крадла - отвърнала Рани. - Точно обратното, събрах ориза на раджата и идвам да му го донеса.

Когато раджата научил, заръчал да му доведат момичето.

- Искам да те възнаградя за вярното поданичество и че си върнала това, което ми принадлежи - казал той великодушно. - Поискай каквото и да е и ще го имаш!

- Ваше Величество, незначителната ми постъпка не заслужава награда - скромно отговорило момичето. - Но ако настоявате, можете да ми дадете едно зърно ориз.

- Едно зърно ориз? - възкликнал владетелят. - Не, трябва да ми позволиш да те възнаградя по-богато, както подхожда на раджа!

- Добре тогава - засмяло се момичето. - Дайте ми сега зърното ориз, а аз ще идвам в продължение на 30 дни и искам всеки ден да ми давате два пъти повече зърна, отколкото предишния.

- Пак искаш скромна награда - казал раджата. - Но добре, ще я имаш!

И така Рани получила първото зърно ориз.

Задача: В Ексел да се направи таблица с две колони. В първата - дните, в които момичето е посещавало двореца, във втората - зърната ориз, които е получило всеки един ден. След като изведат резултат, учениците продължават приказката, четейки броя зърна, които момичето е получило всеки следващ ден:

На следващия ден Рани получила 2 зърна ориз.
На по-следващия - 4.

На  деветия ден - 256 зърна, което било всичко на всичко една малка шепа.

"Това момиче е честно, но не е много умно - помислил си раджата. - Та тя щеше да получи повече, ако беше задържала това, което беше събрала в полата си." 

Но дали бил прав?

Оризът, който получила Рани на дванадесетия ден се събрал в четири шепи, на тринадесетия - в една купа, на шестнадесетия - в една чанта.

"Май, не бях прав ... - взел да се размисля раджата. - Това ще излезе повече, отколкото предполагах."

В следващите дни взели да извозват ориза, който и се полага с товарни животни и хамбарите започнали постепенно да се опразват.

На последния тридесети ден двеста петдесет и шест слона и докарали съдържанието на последните четири склада на раджата - 536 870 912 зърна ориз.

- И какво ще правиш с всичкия този ориз? - тежко въздъхнал раджата. - Сега на мен не ми остана нищо!

- Ще го раздам на гладните - отвърнала Рани. - Ще оставя и на вас, ако обещаете отсега нататък да събирате като данък само толкова, колкото ви е нужно.

- Обещавам! - казал раджата.

И до края на дните си бил наистина мъдър и справедлив, какъвто всеки раджа трябва да бъде.

Продължение на задачата: В програмата да се построи графика y=f(x), където y са зърната ориз, а х - дните, в които са получени. На графиката да се посочи натрупването за различни периоди и цялото време.

Арменски фолклорни задачи

Дъщерите на Навасард

Дъщерите на Навасард били тъкачки на килими. Той дал на всяка по седем без едно гранчета нишки и му останала една част, равна на тези, които им раздал. Ако беше им раздал по седем и още едно гранчета, за дъщеря му Зара нямаше да остане дял. 

Колко били дъщерите на Навасард и колко гранчета имал?

Големият камък

По време на строежа на манастира Ваанаванк трябвало да докарат голям камък. Той тежал 200 пуда и четири бика го докарали до средата на пътя за три дни. Тогава за да не се бавят повече го разбили. И докарали до манастира къс, който тежал 150 пуда, като взели за това наполовина повече бикове, отколкото били.

Колко време карали камъка до манастира?

Източник: сп.Квант

И една весела гатанка, която не е арменска, но сега ми е попаднала и не си струва да пиша за нея отделен пост:

Два крака седели на три. Дошли четири и грабнали един. Тогава двата грабнали трите, хвърлили ги по четирите, за да оставят единия. Що е то? :D

Подялба

Един баща имал квадратно поле. Четиримата му сина пораснали и той решил да подели с тях имота. За себе си оставил една четвърт от полето, както е показано на картинката.



Останалото обещал на синовете си, ако съумеят да го разделят на равни по площ и по форма части. Как могат да направят това?

българска фолклорна задача

ОТГОВОР

Задачи от древността: Древна Гърция (І)

Съдът на Парис

Богините Хера, Афродита и Атина отишли при младия Парис, за да реши коя от тях е най-прекрасна. Заставайки пред него богините изказали следните твърдения:
-Аз съм най-прекрасна - заявила Афродита.
-Афродита не е най-прекрасна - опонирала Атина.
-Аз съм най-прекрасна - намесила се и Хера.
-Хера не е най-прекрасна - намръщила се Афродита.
-Най-прекрасната съм аз - заключила Атина.
Парис, който бил полегнал да почине, даже не си направил труда да смъкне кърпата, с която бил прикрил очите си от яркото слънце. Но богините били настоятелни и той трябвало да реши коя е най-красива. Парис предположил, че най-красивата казва истината, а останалите две лъжат. Може ли по този начин да вземе решение коя е най-прекрасна?

Задачата на Дидона

В древен мит се разказва, че тирският цар Пигмалион убил Сихей, мъжа на сестра си Дидона, за да завладее богатствата му. Дидона напуснала Финикия и след много приключения се озовала в Северна Африка. Нумидийският крал Ярб обещал да и подари парче земя на брега на морето, не по-голямо от това, което може да загради с волска кожа. Хитрата Дидона нарязала волската кожа на ивици, свързала ги и заградила с тях голям участък земя, на който основала Картаген.
Участък земя с каква форма е заградила Дидона, за да получи максимална площ?

Задача за школата на Питагор

Поликрат, владетелят на остров Самос, веднъж на пир попитал Питагор колко ученика има.
"Охотно ще ти кажа, о, Поликрат - отвърнал Питагор. - Половината от моите ученици изучават прекрасната математика, 1/4 изследват тайните на вечната природа, 1/7 мълчаливо упражняват силата на духа, пазейки в сърцето си учението. Добави към тях още трима юноши, от които Теон превъзхожда всички по способностите си. Колко ученика водя към раждането на вечната истина?"

Следва ...

Източник: И.И.Баврин,Е.А.Фрибус "Старинни задачи"

Задачи от древността: Вавилон

В древен Вавилон математиката се зародила далеч преди нашата ера. Вавилонските паметници във вида на глинени плочки (общо около 500000, от които около 150 с текстове на математически задачи и 200 с числови таблици) с клинописни надписи се съхраняват в музеи в целия свят.

Задача от глинена табличка (~ 1950 г. пр.н.е.)

Площ А, съставена от сумата на площите на два квадрата, е равна на 1000. Страната на единия квадрат е равна на намалените с 10 две трети от страната на другия квадрат. На колко са равни страните на двата квадрата?

Задача за пръта

Дървен прът е опрян до стена първоначално вертикално, а след това е отместен така, че горният му край се смъква с 3 лакти, а долният отстъпва от стената с 9 лакти. Каква е дължината на пръта?

Източник: И.И.Баврин,Е.А.Фрибус "Старинни задачи"

Малко математически фолклор

Отдавна не съм пускала старинни задачи. Тия дни ми попаднаха няколко в един сборник с притчи от края на ХVІІ в. под формата на приказки. Тази специално не мисля, че е толкова популярна.

Дошли при царя трима братя с жалба. Те делели наследството си и успели да поделят всичко освен стадо кози. В стадото имало 30 кози и 60 козлета, като от тях 10 кози имали по едно козле, 10 кози имали по две козлета и 10 кози имали по три козлета. Братята искали да ги поделят така, че всеки да има по равен брой добитък и нито едно козле да не е отделено от майка си. Как може да стане това?

Източник: Сулхан-Саба Орбелиани "Мудрость вымысла"

Моите деца и твоите деца бият нашите деца

Един вдовец се оженил за вдовица, като и двамата имали деца. Живеели мирно и кротко, родили им се още деца. Но веднъж между деветте деца в семейството избухнала свада.
Майката изтичала при бащата и извикала:
-Ела бързо! Моите деца и твоите деца бият нашите деца!

Колко са битите деца, ако мъжът имал 5 собствени деца, а жената -7 ?

Източник: "Математически фолклор" Иван Ганчев, Кирил Чимев, Йордан Стоянов

Задачи от древността: Египет

Задачи от папируса на Ахмес

Папирусът на Ахмес е най-големият съхранен до наши дни древноегипетски математически текст (ХVІІІ-ХVІІ в.пр.н.е.). Включва 84 задачи, от които тук ще бъдат изложени само две:

1. Седем човека имат по седем котки. Всяка котка изяжда по седем мишки. Всяка мишка изяжда по седем класа. От всеки клас могат да се отгледат по седем мерки жито. Колко големи са числата от този ред и каква е тяхната сума?

2. Раздели десет мерки хляб на десет човека, ако разликата на количеството хляб у всеки човек и предишния представлява 1/8 част.


Из сборника "Старинни задачи" на И.И.Баврин и Е.А.Фрибус

Победата на знанието (Математическа приказка)

Това се случило много отдавна.
В някакво царство, някакво господарство на престола се възкачил неграмотен цар: в детството си той мразел математиката и родния език, рисуването и пеенето, четенето и труда ... Израстнал невеж. Срам пред народа. И царят решил: "Нека всички в тази страна бъдат неграмотни. Той затворил училищата, позволил изучаването само на военно дело, за да завоюва още земи и да стане още по- богат.
Скоро армията на тази държава станала голяма и силна. Тя тероризирала всички съседни страни, особено по-малките и слабите.
Невежият крал се наричал Маса. Той станал предводител на разбойническата си армия.
В близост до страната на неуките се намирала държавата Дължина. Нейният цар бил интелигентен и образован човек: знаел аритметика, различни езици, в допълнение великолепно владеел и военната наука.
Армията на тази страна бил малка, но добре обучен. Тя била прославена със своето разузнаване и своите вестоносци на дълги разстояния.
Цар Маса повел войската си към границата на Дължина и успял да я превземе.Как да спасят страната? Царят, знаейки че Маса и неговите служители не умеят да смятат и не знаят какво означават думите "кило" (хиляда), "санти" (сто), "деци" (десет), решил да проведе военна операция.
След два дни пред лагера на вражеската войска пристигнала голяма дървена кукла. Стражата не искала да я пуснете, но куклата заявила, че тя е подарък от държавата Дължина за цар Маса. Стражата отстъпила и я пуснала.
Кукла влязла в лагера. Маса с любопитство я разгледал и се удивил на размера и и способността да говори с човешки глас.
Куклата казала, че нейното име е Кило и че има по-малки братя Метър и Дециметър.
Паднала нощта. Когато целият лагер потънал в сън, куклата се отворила и от нея излезли 1000 кукли на име Метър, от всяка от тях - по 10 кукли, наречени Дециметъра от всеки Дециметър - по 10 войника Сантиметър. Те обкръжили спящата войска и я унищожили. Само цар Маса успял да се измъкне с бягство.
Така умният цар, който обичал науката, победил невежия цар Маса. И всички съседни държави заживели в мир и спокойствие.

Приказка за точката

В далечното Математическо царство живеела мъничка-мъничка Точка, която никой не обичал. А и как да я обичаш – обикновена, едва-едва се вижда, а пробвай да не я поставиш на мястото и или да я пропуснеш ... Колко двойки са получени заради нея, колко сълзи са изплакани!
Точката, разбира се, усещала отношението към себе си и много се огорчавала. Толкова се стараела да угоди на всички, тичала напред-назад из цялото царство, а в резултат само хули и обиди получавала. Намислила да избяга, но все не и достигала решителност. ”Все пак е страшничко! Вярно е, много съм мъничка, –мислела си тя - далеч няма да стигна.”
Веднъж, на контролна работа един ученик пропуснал Точката в пример за умножение и можете ли да си представите какъв резултат получил ?! А каква оценка ?! Ученикът страшно се ядосал:”За такава дреболия, всичко наопаки! Какво толкова е Точката ?! Даже определение няма!” Точката била съкрушена:”Как ?! Толкова се трудя, слушам всякакви гадости за себе си и даже нямам определение ?! Това е възмутително! Трябва да се махна оттук незабавно!”
„Как добре те разбирам!” – чула въздишка до себе си. Това била тънката Права:”Аз също нямам определение. Прекарайте Права, отбележете на Правата ... А какво съм аз, никой още не е казал. Затова ще ти помогна. Скачай на мен и бягай! Не спирай! Аз отивам в безкрайността. Искаш ли да видим безкрайността заедно ?”.
„Разбира се, че искам”- зарадвала се Точката и без да чака повече да я канят, скочила на Правата и се търкулнала по нея ...
Какво се случило няколко минути след изчезването на Точката ?! Числата, които искали да се обозначат на Числовия Лъч, не можели да го направят и се разбунтували. Самият Числов Лъч, загубвайки идентичността си, получил разстройство на личността и започнал да се разпада. Числата, които искали да се умножат, също не можели без Точката и създали допълнително безредие. Заменили Точката, като знак за умножение, с косо кръстче, но когато пишели уравнения, го бъркали с Неизвестното Х.
Казано накратко, без малката и противна Точка Математическото царство рухнало за броени минути.
А къде избягала Точката ?! Търкаляйки се по любезната Права, тя напуснала земната атмосфера и се озовала в Безкрайния Космос. Нощем, когато съзерцаваш звездното небе, можеш ли да забележиш там една мъничка-мъничка Точка ?!

Защо числата не се делят на нула (Математическа приказка)

Далеко, далеко, зад планини и морета, била страната Числандия. В нея живеели много почтени числа. Само Нулата била мързелива и нечестна.
Един ден пристигнала новина, че зад обширната Савана се появила кралица Аритметика, която кани при себе си на служба числандски жители. Всички пожелали да станат поданици на кралицата. Дълъг и зноен бил пътят през Саваната. Само четири реки я пресичали – Събиране, Изваждане, Умножение и Деление. Числата решили да пътуват заедно, за да извършат по-лесно трудния преход.
Пътешествениците тръгнали в ранна утрин. Дълго вървели под палещите лъчи на слънцето и накрая се добрали до река Събиране. Числата се втурнали към водата за да утолят жаждата си, но реката наредила: ”Застанете по двойки и се съберете, тогава ще ви дам да пиете” . Всички изпълнили заповедта. Изпълнила я и мързеливата Нула, но числото, с което се събрала, останало недоволно, защото реката давала толкова повече вода, колкото по-голяма е сумата, а Нулата не допринесла с нищо за нейното увеличаване.
Слънцето напекло още по-силно. Достигнали до река Изваждане. Тя също поискала отплата за водата - да се разделят по двойки и да извадят по-малкото число от по-голямото; колкото по-малък е отговора, толкова повече вода ще получат. Отново числото, което образувало двойка с Нулата, било на загуба и се разстроило.
Пътниците поели нататък по жаркия път. Река Умножение поискала да се умножат по двойки. Числото, което се комбинирало с Нулата, въобще не получило вода и едва се добрало до следващата река.
При река Деление, никой не пожелал да бъде с Нулата. И до ден днешен нито едно число не се дели на нула.
За да няма конфликти, мъдрата кралица Аритметика наредила да дописват Нулата след числата и така те да се увеличават десетократно. Оттогава живеят в мир и сговор.

Как четириъгълниците си избрали цар (Математическа приказка-загадка)

Събрали се всички четириъгълници на една горска поляна и започнали да обсъждат въпроса за избора на своя цар. Дълго спорили, но не успели да постигнат единомислие. Тогава един стар успоредник предложил: ”Хайде да тръгнем всички към царството на четириъгълниците. Който пристигне пръв, той ще стане цар.” Всички се съгласили.
В ранна сутрин потеглили на далечно пътешествие. На пътя им се изпречило широко езеро, което казало: „Ще ме преплуват само тези, чиито диагонали се разполовяват в пресечната си точка”.
Част от четириъгълниците останали на брега, останалите благополучно преплували и продължили нататък. На пътя им се изпречила висока планина, която казала, че ще пропусне само тези, на които диагоналите са равни.
Няколко пътешественика останали пред планината, останалите преминали нататък. Стигнали до дълбока пропаст, през която се простирал въжен мост. Мостът казал, че ще могат да го прекосят само тези, чиито диагонали се пресичат под прав ъгъл.
Само един четириъгълник успял да преодолее това препятствие, пръв пристигнал в царството и бил провъзгласен за цар.
Кой е той?