понеделник, 20 юли 2009 г.

Математическа логика 5-7 клас – задачи и решения (Част І)

"Рога и копита"

или

Диофантови уравнения

1.
Една стара дама много обичала кучета и котки. Имала общо 10 питомци. Веднъж решила да ги почерпи с наденички. Раздала общо 56 броя. На всяка котка давала по 5 наденички, а на всяко куче - по 6. Колко кучета и колко котки имала старата дама? 
Решение:
Дамата има х кучета и у котки.
6х + 5у = 56
х + у = 10  => х = 10 - у
6(10 - у) + 5у = 56
у = 4
х = 6
6 кучета и 4 котки

2.
В стая имало трикраки табуретки и четирикраки столове. Когато на всички места седнали хора, се оказало, че в стаята има 39 крака. Колко табуретки имало в стаята?
Решение: Нека в стаята има m табуретки и n стола. Табуретка с човек има 5 крака, а стол с човек - 6.
5m + 6n = 39
m=3
n=4
Три табуретки.

3.
В една кутия има сини, зелени и червени моливи, общо 20. Сините са 6 пъти повече от зелените, а червените са по-малко от сините. Колко червени молива има в кутията?
Решение: Означаваме броя на зелените с х, а на червените с у.
х + 6х + у = 20
7x + y = 20
у < 6x
x = 1 y = 13 не е решение, защото не е изпълнено условието y<6x p="p">x = 2 y = 6
6 червени, 2 зелени и 12 сини молива

4.
В един селски двор се отглеждат пилета и прасета. Те имат общо 21 глави и 52 крака. Колко са прасетата?
Решение: х - пилета, у - прасета
х + у = 21                                  (1)
2х + 4у = 52
2(х + у) + 2у = 52                      (2)
Заместваме (1) в (2)
42 + 2у = 52
2у = 10
у = 5
Пет прасета

5.
На Таня не и достигат 7 лв.,за да си купи компютърна игра, а на Галя не и достигат 2 лв. Решили да съберат парите си и да купят играта заедно, но се оказало, че и така не са достатъчно. Колко струвала играта?
Забележка: Парите, които имало всяко момиче и цената на играта са цяло число в лв.
Решение: Щом събраните пари не достигат, значи Таня е прибавила към парите на Галя по-малко от 2 лв., т.е. 1 лв.
7 + 1 = 8 лв. струвала играта

6.
Петима участници в олимпиада станали победители, като спечелили по 15, 14 и 13 точки, заемайки съответно 1-во, 2-ро и 3-то място. Колко ученика са завоювали всяко от призовите места, ако сумарният брой точки е 69?
Решение: х у-ка имат по 15 т., у - по 14т., z - по 13т.
При положение, че има поне по 1 у-к с 15, 14 и 13 точки, всяко от неизвестните е по-малко или равно на 3.
x + y + z = 5
15x + 14y + 13z = 69
14y е четно за всяко у  => 69 – 14y е нечетно => 15x + 13z е нечетно, т.е. едното от двете събираеми е четно, а другото нечетно.
Ако 15х е четно, а 13z – нечетно, единствената възможна стойност за х е х=2, откъдето => 14y + 13z = 39
За z=1, y се получава дробно число, а ако z= 3 , y=0, но това противоречи на условието.
=> 15x е нечетно, а 13z – четно.
z=2 => 15x + 14y = 43
За х = 1 у = 2.
На първо място има един ученик, а на второ и трето по двама.

Нерешени задачи

1.Няколко момчета пасат овце. Ако преброим краката, ще установим, че са 74. Ако преброим главите – 22. Колко са момчетата и колко овцете?
2.Тест има 20 в-са. За верен отговор се дават по 7 т., за грешен отговор се отнемат 2 т. За неотговорен – 0 т. Ученик получил на теста 87 т. На колко въпроса не е дал отговор?
3.На математическо състезание Аника получила 13 т. За някои от задачите е получила по 3 т., а за други по 2 т. Колко задачи по 3т. е решила Аника, ако общият брой, решени от нея задачи е 6?
4.Тринадесет деца написали по едно име на животно. Някои написали „куче”, други – „котка”, а останалите – „мишка”. Сред написаното буквите „к” били 18, а буквите „а” – 9. Колко деца са написали „мишка”?

Част ІІ
Част ІІІ
Част ІV
Част V
Част VІ
Част VІІ
Част VІІІ
Част ІХ

8 коментара:

  1. 2.Тест има 20 в-са. За верен отговор се дават по 7 т., за грешен отговор се отнемат 2 т. За неотговорен – 0 т. Ученик получил на теста 87 т. На колко въпроса не е дал отговор?
    Решение:
    Нека x е броя верни , y - броя неотговорени, z брой неверни. Тогава X+Y+Z=20
    Но получените точки са 87. Верните не могат да бъдат по-малко от 13. Тъй като 87:7=12 /остатък 3. Но има и неверни отговори. Трябва 7X>87. 7X-87 трябва да се дели на 2(броят отнети точки за въпрос) защото 7X-2Z=87. Следователно x е нечетно.
    С проверка установяваме, че има решение X=13;Z=2;Y=5 защото 13*7=91;91-87=4;4:2=2; 13+2=15; 20-15=5
    Следващото възможно X е 15, но 15*7=105; 105-87=18; 18:2=6; X+Z=15+6>20
    Тогава намереното решение е единствено.

    ОтговорИзтриване
  2. :) Благодаря, че си инвестирал време,за да напишеш подробно решение.

    ОтговорИзтриване
  3. Ще се включвам отвреме на време, ако позволиш :-) Премести си решението и го редактирай, ако сметнеш за необходимо.

    ОтговорИзтриване
  4. :) Разбира се, не само позволявам, каня те официално!
    Ще добавя решението ти в публикацията, но малко по-късно днес или утре.
    Сега трябва да се заема спешно с разрешаването на един административно-софтуерен проблем с друг от блоговете ми и да си концентрирам цялото внимание, за да не направя нова беля :).

    ОтговорИзтриване
  5. Gloxy-Floxy, поставила си решението в 6-та задача, а то е за 2-ра :-(

    ОтговорИзтриване
  6. Извини ме за невниманието. Тогава бях преангажирана и съм допуснала грешка. Но няма да го качвам в публикацията, защото там нерешените задачи са за упражнение.
    :) Ако някой си направи труда да погледне и по-надолу, може и да икономиса малко труд и самостоятелно мислене.

    ОтговорИзтриване
  7. Здравейте, как ще се реши задачата без да се използва диофантово уравнение (в 5 клас не са учили диофантови уравнения)? Имам предвид която и да е задача от горните - принципа ме интересува. Благодаря предварително за отговора.

    ОтговорИзтриване
  8. Здравейте,
    Откровено казано, не знам по-прост от указания по-горе начин. Най-общо: първо се съставя неопределено уравнение - с повече от едно неизвестно- и после започвате да "напипвате" възможните отговори.
    Примерно, от нерешените задачи №3 за Аника. Решила е х задачи по 3т. и у задачи по 2т.
    3х+2у=13 е уравнението, което си съставяте въз основа на събрания брой точки. Знаем и че х+у=6 - решила е общо 6 задачи. Сега започваме
    1) да мислим - Може ли да е решила само задачи от 3т. или само от 2т.? - Видимо не, защото събрания брой точки не се дели нито на 3, нито на 2 до цяло число.
    2) да пробваме варианти
    - при х=1, у=5 - 1 възможен вариант;
    - при х=2 2у=7 - не е възможен вариант, защото у не е цяло число;
    - при х=3 у=2, но х+у не е равно на 6 - не е възможен вариант;
    - при х=4 2у=1 - не е възможен вариант, защото у не е цяло число;
    - при х=5 у трябва да е отрицателно число - не е възможен вариант.
    Значи единственият възможен отговор е х=1 у=5,т.е. решила е 1 задача от 3 точки и 5 от 2 точки.
    В обобщение: съставяне на уравнение и пробване на варианти до изчерпване на възможностите.
    Опитайте със задачите с глави и крака, те се намират в изобилие. :)
    Успех!

    ОтговорИзтриване

 

Категории

Математическа логика

Математически приказки

Химия