петък, 31 юли 2009 г.

Защо числата не се делят на нула (Математическа приказка)



Далеко, далеко, зад планини и морета, била страната Числандия. В нея живеели много почтени числа. Само Нулата била мързелива и нечестна.
Един ден пристигнала новина, че зад обширната Савана се появила кралица Аритметика, която кани при себе си на служба числандски жители. Всички пожелали да станат поданици на кралицата. Дълъг и зноен бил пътят през Саваната. Само четири реки я пресичали – Събиране, Изваждане, Умножение и Деление. Числата решили да пътуват заедно, за да извършат по-лесно трудния преход.
Пътешествениците тръгнали в ранна утрин. Дълго вървели под палещите лъчи на слънцето и накрая се добрали до река Събиране. Числата се втурнали към водата за да утолят жаждата си, но реката наредила: ”Застанете по двойки и се съберете, тогава ще ви дам да пиете” . Всички изпълнили заповедта. Изпълнила я и мързеливата Нула, но числото, с което се събрала, останало недоволно, защото реката давала толкова повече вода, колкото по-голяма е сумата, а Нулата не допринесла с нищо за нейното увеличаване.
Слънцето напекло още по-силно. Достигнали до река Изваждане. Тя също поискала отплата за водата - да се разделят по двойки и да извадят по-малкото число от по-голямото; колкото по-малък е отговора, толкова повече вода ще получат. Отново числото, което образувало двойка с Нулата, било на загуба и се разстроило.
Пътниците поели нататък по жаркия път. Река Умножение поискала да се умножат по двойки. Числото, което се комбинирало с Нулата, въобще не получило вода и едва се добрало до следващата река.
При река Деление, никой не пожелал да бъде с Нулата. И до ден днешен нито едно число не се дели на нула.
За да няма конфликти, мъдрата кралица Аритметика наредила да дописват Нулата след числата и така те да се увеличават десетократно. Оттогава живеят в мир и сговор.

сряда, 29 юли 2009 г.

Как четириъгълниците си избрали цар (Математическа приказка-загадка)

Събрали се всички четириъгълници на една горска поляна и започнали да обсъждат въпроса за избора на своя цар. Дълго спорили, но не успели да постигнат единомислие. Тогава един стар успоредник предложил: ”Хайде да тръгнем всички към царството на четириъгълниците. Който пристигне пръв, той ще стане цар.” Всички се съгласили.
В ранна сутрин потеглили на далечно пътешествие. На пътя им се изпречило широко езеро, което казало: „Ще ме преплуват само тези, чиито диагонали се разполовяват в пресечната си точка”.
Част от четириъгълниците останали на брега, останалите благополучно преплували и продължили нататък. На пътя им се изпречила висока планина, която казала, че ще пропусне само тези, на които диагоналите са равни.
Няколко пътешественика останали пред планината, останалите преминали нататък. Стигнали до дълбока пропаст, през която се простирал въжен мост. Мостът казал, че ще могат да го прекосят само тези, чиито диагонали се пресичат под прав ъгъл.
Само един четириъгълник успял да преодолее това препятствие, пръв пристигнал в царството и бил провъзгласен за цар.
Кой е той?

четвъртък, 23 юли 2009 г.

Математическа логика – Тест 3

1.

Дядото е 2 пъти по-силен от бабата, бабата- 3 пъти по-силна от внучката, внучката – 4 пъти по-силна от кучето, кучето – 5 пъти по-силно от котката, а котката – 6 пъти по-силна от мишката. Колко мишки трябват за да се извади ряпата?

A) 21 Б)720 B) 1237 Г) Само мишки не могат да извадят ряпата.


2.

В клас учат 37 ученика. Със сигурност има месец , в който рождениците са не по-малко от:

А) 3 Б) 4 В) 5 Г) 6


3.

В едно семейство всяко момче има толкова сестри, колкото и братя, а всяко момиче – два пъти повече братя, отколкото сестри. Колко общо са децата в семейството?

А) 3 Б) 7 B) 8 Г) 11


4.

Васил, Росен, Юлиан и Стефан заели на математическа олимпиада първите четири места. Като ги попитали за разпределението на местата, те дали следните отговори:

1. Стефан - на първо, Росен – на второ място.

2. Стефан – на второ, Васил – на трето място.

3. Юлиан – на второ, Васил – на четвърто място.

Във всеки отговор само едно от твърденията е истина. Кой е на четвърто място?

A) Стефан Б) Васил B) Юлиан Г) Росен


5.

Брат и сестра искали да си купят енциклопедия. На момчето не му достигали 20 лв., а на момичето 14 лв. Тогава решили да съберат парите и да я купят заедно, но се оказало, че така отново не им достигат 4 лв. Колко струвала енциклопедията?

А) 21 лв. Б) 30 лв. В) 38 лв. Г) 50 лв.


6.

През януари има четири понеделника и четири петъка. Какъв ден тогава е първи януари?

А) петък Б) понеделник B) вторник Г) неделя


7.

На масата са подредени четири фигури – триъгълник, кръг, правоъгълник и ромб. Те са оцветени в различни цветове – червен, син, жълт и зелен. Известно е, че червената фигура е между синята и зелената; вдясно от жълтата лежи ромб; кръгът е вдясно и от триъгълника, и от ромба; триъгълникът не е накрая; синята и жълтата фигура не лежат една до друга. Каква фигура лежи най-вдясно?

А) зелен правоъгълник Б) син ромб В) син кръг Г) червен триъгълник


8.

Бащата е 4 пъти по-възрастен от сина. След 20 г. бащата ще бъде 2 пъти по-възрастен от сина. На колко години е сега бащата?

А) 24 Б) 30 В) 32 Г) 40


9.

На родителска среща на клас от 28 ученика дошли 24 майки и 18 бащи. На колко от учениците на родителската среща са се явили и двамата родители?

A) 8 Б) 14 B) 15 Г) 18


10.

Ники, Сашо и Румен редовно ходят на кино, Ники – всеки трети ден, Сашо – всеки седми и Румен – всеки пети. Днес и тримата са на кино. След колко дни ще се засекат пак там?

А) 15 Б) 35 В) 70 Г) 105









Тест 1
Тест 2


Математическа логика – Тест 2

1.

Ако за вчера, утре е било четвъртък, кой ден ще бъде вчера за вдругиден?

А) понеделник Б) сряда B) петък Г) неделя


2.

За всяка вярно решена задача майката на Ники пуска в касичката му по 10 ст. За всяка задача, която се окаже грешно решена, той връща по 5 ст. След като решил 20 задачи, в касичката останали 80 ст. Колко задачи е сгрешил Ники?

А) 5 Б) 8 B) 10 Г) 12


3.

Бил ограбен бижутериен магазин. Полицейският инспектор знае, че обирът е извършен от един от тримата престъпници с прякори Артиста, Бика и Враната. Било установено, че

1. Магазинът не е ограбил Бика.

2. Магазинът е ограбил Враната.

В последствие се изяснило, че само едно от двете твърдения е вярно. Кой е ограбил магазина?

A) Артистът Б) Бикът B) Враната


4.

В един клас правили контролна работа. Една трета от учениците били с една сгрешена задача, една четвърт – с две сгрешени задачи, една шеста – с три сгрешени задачи. Една осма сгрешили всичките четири задачи. Колко ученици са решили вярно всички задачи, ако в класа има не повече от 30 ученици?

А) 0 Б) 3 В) 5 Г) 9


5.

В едно семейство имало много деца. Седем от тях обичали зеле, шест обичали моркови, а пет – грах. Четири обичали зеле и моркови, трима – зеле и грах, двама – моркови и грах. Само едно от децата обичало и зеле, и моркови и грах. Колко били децата в семейството?

A) 5 Б) 9 В) 10 Г) 18


6.

Един от петима братя изработил подарък за майката. Николай казал:” Това е Георги или Иван.”Георги казал:”Не съм аз и не е Димитър”. Иван казал” Вие и двамата се шегувате”. Асен:”Не, единият от тях казва истината”. Димитър казал :” Не, Асене, ти не си прав”. Майката знае, че трима от синовете и винаги казват истината. Кой е изработил подаръка?

А) Николай Б) Димитър В) Георги Г) Иван Д)Асен


7.

Петима първолаци стоят в редичка и държат 37 знаменца. Всички вдясно от Таня държат 14 знаменца,всички вдясно от Яна - 32, всички вдясно от Вера - 20, всички вдясно от Мишо – 8. Колко знаменца държи Дани?

А) 17 Б)5 B) 8 Г)20


8.

Сега Симеон е на 11, а Виктор на 1. На колко години ще бъде Виктор, когато Симеон стане три пъти по-възрастен от него?

А) 5 Б) 13 B)20 Г) 27


9.

За ученическа екскурзия били поръчани няколко еднакви автобуса. 115 човека заминали за езерото, а 138 – в планината. За всички имало място, и нямало незаети места. Колко били поръчаните автобуси?

A) 5 Б) 6 В) 11 Г) 20


10.

Момче и прасе тежат колкото пет сандъка. Прасето тежи колкото четири котки. Две котки и прасето тежат колкото три сандъка. Колко котки тежат колкото тежи момчето?

А) 3 Б) 5 B) 6 Г)8









Тест 1


сряда, 22 юли 2009 г.

Математическа логика – Тест 1

1.

В магазин се продават шоколадови бонбони във формата на букви от английската азбука. Всяка буква има различна цена. Думата ONE струва 6$, думата TWO – 9$, ELEVEN – 16 $. Колко струва думата TWELVE ?

A) 16$ Б) 19$ В) 20$ Г) 22$


2.

Няколко гнома, натоварили багажа си на понита и се отправили в далечен път. Те били забелязани от тролове, които преброили в кервана 36 крака и 15 глави. Колко били понитата?

A) 3 Б) 7 В) 9 Г) 12


3.

В един храм стояли три говорещи статуи- на богинята на Истината, която винаги говори истината, на богинята на Дипломацията, която понякога лъже, а понякога казва истината и на богинята на Лъжата, която винаги лъже. Никой не можел да ги различи, но веднъж един човек успял. Влизайки в храма, попитал богинята вляво:”Кой стои до теб?”.

- Богинята на Истината – бил отговорът.

Човекът попитал богинята в центъра: „ Коя си ти ?”

-Богинята на Дипломацията.

Последния въпрос задал на богинята вдясно:” Кой стои до теб?”

-Богинята на Лъжата – отговорила тя.

Коя е богинята в центъра?

A) Богинята на истината Б) Богинята на Дипломацията В) Богинята на Лъжата


4.

За Великден Мария и майка и боядисали червени, сини и жълти яйца. 26 от тях не са жълти, 18 не са сини, а 12 не са червени. Колко червени яйца е боядисала Мария?

А) 10 Б) 12 В) 16 Г)18


5.

Вълкът с трите прасенца написал трилър „Трите прасенца -2”, а с Червената шапчица и баба и – кулинарна книга „Червената шапчица – 2”. В издателството дали хонорара за двете книги на прасенцето Наф – Наф. То взело своята част и предало останалите 2100 жълтици на Вълка. Хонорарът за всяка книга се дели поравно между авторите. Колко жълтици трябва да вземе Вълкът?

A) 300 Б) 500 В) 700 Г) 900


6.

Средната възраст на футболен отбор /11 играчи/ е 22 г. По време на мача един от играчите е контузен и излиза от играта. Средната възраст на останалите е 21 г. На колко години е контузеният?

A) 18 Б) 22 В) 28 Г) 32


7.

Има четири моливника. В първия има лилав химикал, зелен молив и червена линия. Във втория – син химикал, зелен молив и жълта линия. В третия – лилава химикалка, оранжев молив и жълта линия. За всеки два моливника има точно по една двойка предмети, които съвпадат по цвят и предназначение. Какво има в четвъртия моливник?

A) зелен химикал, син молив, оранжева линия Б) син химикал, оранжев молив, червена линия В) лилав химикал, зелен молив, жълта линия


8.

Ани и Антон са ученици от 7В клас. Ани има толкова съученици, колкото и съученички. Броят на съучениците на Антон са 6/7 от броя на съученичките му. Колко деца учат в 7В клас?

A) 20 Б) 21 В) 24 Г) 27


9.

Клас от 30 ученика правил тест по английски език, който съдържал 30 въпроса. Най много грешки допуснал Иван – 15. Другите ученици направили по-малко грешки. Учениците допуснали еднакъв брой грешки са не по-малко от:

А) 3 Б) 4 В) 5 Г) 6


10.

Ваня, Соня и Мила изучават различни чужди езици – китайски, японски и арабски. На въпроса какви езици учат, отговорили:”Ваня учи китайски, Соня не учи китайски, а Мила не учи арабски.” Само едно твърдение е вярно. Какъв език учи Мила?

А) Китайски Б) Японски В) Арабски







Математическа логика 5 -7 клас – задачи и решения (Част ІХ)

Кое е повече?


1.

Седем шоколада са по-скъпи от 8 кроасана . Кое е по-скъпо – 8 шоколада или 9 кроасана?


Решение:









2.

На една поляна босите момчета са повече от обутите момичета. Кои са повече момичетата или босите деца?


Решение:






По условие n > q . Като прибавим към двете страни на неравенството едно и също число, то не се променя. Прибавяме към двете страни р – бр. на босите момичета.

n + p > q + p

Босите деца са повече от момичетата.


3.

Дама дала на багаж раница, куфар, сак и кошница. Известно е, че куфарът тежи повече от раницата, сакът и раницата – повече от куфара и кошницата, кошницата и сакът – толкова, колкото куфара и раницата. Подредете вещите на дамата по намаляване на тяхното тегло.


Решение:

Означаваме теглото на раницата с р, на куфара с ку, на сака със с и на кошницата с ко.

1) ку > р

2) с + р > ку + ко

3) ко + с = ку + р

  1. От 1) и 2) => c > ко , защото ако ко > c и ку > p (1) => ко + ку > c + p, което противоречи на 2).
  2. От 2) и 3) =>

2c + p + ко > 2ку + р + ко

2c > 2ку

с > ку

Но ако с > ку , условие 3) може да се изпълни само при р > ко.

Установихме, че ку > р, с > ко, с > ку, р > ко.

= > c > ky > p > ko


4.

Четири черни крави и три кафяви за 5 дни дават толкова мляко, колкото три черни и пет кафяви за четири ни. Кои крави дават повече мляко – черните или кафявите?


Решение:
За един ден една черна крава, дава ч л. мляко, а една кафява – к л. мляко.

5(4ч + 3к) = 4( 3ч + 5к)

20ч + 15к = 12ч + 20к

8ч = 5к

ч = (5/8)к

Кафявите дават повече мляко.


Нерешени задачи



  1. Мими смята, че 2 дини са по-тежки от 3 пъпеша. Ани смята, че 3 дини са по-тежки от 4 пъпеша. Едното от момичетата е право, а другото греши. Вярно ли е тогава, че 12 дини са по-тежки от 18 пъпеша?
  2. Учителят дал за решаване сложна задача. В резултат на това, броят на момчетата, които решили задачата бил равен на броя на момичетата, които не са я решили. Кои са повече – учениците, които решили задачата или момичетата в класа?
  3. На рождения ден на Вики, новата и приятелка иска да разбере на колко години става. Деси твърди, че рожденичката навършва повече от 11, а Руми- повече от 10. Едната е права, а другата греши. Колко години навършва Вики?

Част І - Диофантови уравнения
Част ІІ - Лъжа или истина
Част ІІІ - Принцип на включването и изключването
Част ІV - Познай на колко години съм
Част V
Част VІ - Принцип на Дирихле
Част VІІ
Част VІІІ


Математическа логика 5 -7 клас – задачи и решения (Част VІІІ)

1.

109 ябълки са разпределени в пакети. В някои пакети има по х ябълки, а в други по 3. Намерете всички възможни значения на х, ако пакетите са 20.


Решение:

Ако във всеки пакет имаше по 3 ябълки, общо ябълките щяха да бъдат 60, но на практика има 49 ябълки в повече. Излишните ябълки трябва да се разпределят поравно и да се добавят в няколко пакета.

49 = 7.7 = 1.49

Или в 7 пакета добавяме по 7 ябълки и в тези 7 пакета ябълките стават по 10 – х=10, или в един пакет добавяме 49 ябълки и в него стават 52, х=52.


2.

В сандъка на разбойник са скрити скъпоценни камъни, не повече от 1000. Известно е, че 2/9 от всички камъни са елмази, 4/11 – рубини, 1/7 – сапфири, а останалите – изумруди. Колко изумруда има в сандъка?


Решение: Пресмятаме каква част от всички камъни са елмазите, рубините и сапфирите общо:





Тъй като общият брой на скъпоценните камъни е цяло число, то трябва да е кратно на 693. Единственото число, което отговаря на това условие и не надвишава 1000, е 693.

Частта на изумрудите е





3.

Пълен бидон с мляко тежи 34 кг. Бидон пълен до половина с мляко тежи 17,5 кг. Колко тежи празен бидон?


Решение:

І. Теглото на бидона е равно на разликата между удвоеното тегло на пълен до половина бидон, т.е. теглото на съдържанието плюс удвоеното тегло на бидона, и теглото на пълен бидон, теглото на съдържанието плюс теглото на бидона.

2.17,5 – 34 = 1 кг.

ІІ. Означаваме теглото на съдържанието на пълен бидон с х, а теглото на бидона с у.





От (1) y = 34 – x, заместваме в (2).






4.

Момчетата от един клас донесли за пролетния бал по един букет от по 7 лалета. Тъй като броят на букетите не бил достатъчен за всичките им съученички, те направили нови букети от по 5 лалета и ги подарили на съученичките си и класната ръководителка. Колко момичета има в класа, ако всички ученици в него са повече от 20, но не повече от 30?


Решение: Общото количество на лалетата е кратно на 7 и на 5, т.е. 35, или 70, или 105 и т.н.

35 не е решение, защото бр. момчета = 35/7 = 5 , бр. момичета + кл. ръководителка = 35/5 = 7

5+6=11<20

70 лалета - бр. момчета = 70/7 = 10, бр. момичета + кл. ръководителка = 70/5 = 14

10 + 13 = 23 20<23<30

При по-голям бр. лалета, децата излизат повече от 30.

13 момичета


5.

След 7 пранета, дължината, ширината и височината на парче сапун с форма на правоъгълен паралелепипед намалели 2 пъти. За колко пранета още ще стигне останалият сапун?


Решение:





За седем пранета, изразходваният сапун е




За едно пране се изразходва:





=> Останалият сапун ще стигне за 1 пране.



Нерешени задачи



  1. 1.Селянка носела на пазара кошница с яйца. Минувач неволно я блъснал, кошницата паднала и яйцата се счупили. Виновникът поискал да заплати яйцата. На въпроса, колко яйца имало в кошницата, селянката отговорила:”Не помня точно, но когато ги вадех по 2, по 3, по 4, по 5 и по 6, в кошницата винаги оставаше 1 яйце, а когато ги вадех по 7- не оставаше нищо.”. Колко яйца имало в кошницата?
  2. 2.В клас учат по-малко от 50 ученика. За контролна работа 1/7 част от учениците получили 5-ци,1/3 част – 4-ки, ½ - 3-ки. Останалите получили двойки. Какъв е бил броят на слабите оценки?
  3. 3.Когато Гъливер попаднал в Лилипутия, установил, че там всички вещи са 12 пъти по-къси, отколкото в родината му. Колко лилипутски кибритени кутийки ще се съберат в кибритената кутийка на Гъливер?
  4. 4.Кошница с ябълки тежи 180 г., а кошница с 5 ябълки – 500 г. Колко тежи кошница без ябълки?
  5. 5.Чрез анкета, проведена в 7А клас, установили, че 20% от учениците, които се интересуват от математика, се интересуват и от физика, а 25 % от учениците, които се интересуват от физика, се интересуват и от математика. Само Павел и Виктор не се интересуват от нито един от тези два предмета. Колко ученика има в 7А клас, ако е известно, че са повече от 20, но по-малко от 30?



Част І - Диофантови уравнения
Част ІІ - Лъжа или истина
Част ІІІ - Принцип на включването и изключването
Част ІV - Познай на колко години съм
Част V
Част VІ - Принцип на Дирихле
Част VІІ
Част ІХ



вторник, 21 юли 2009 г.

Математическа логика 5 -7 клас – задачи и решения (Част VІІ)

1.

На поляна имало 35 жълти и бели глухарчета. Осем бели отлетели, две жълти побелели и жълтите станали два пъти от белите. Колко жълти и колко бели глухарчета е имало първоначално на ливадата?


Решение: Накрая останали х бели и 2х – жълти.

х + 2х = 35 – 8 3х = 27 х = 9

Накрая останали 9 бели и 18 жълти.

Белите били 9 + 8 – 2 = 15 .

Жълтите били 18 + 2 = 20 .


2.

Три приятелки – Таня, Ваня и Саня , яли курабийки. Таня и Ваня изяли общо 11, Саня и Ваня – 15, а Таня и Саня – 14. Колко курабийки са изяли трите приятелки общо?


Решение: Ако съберем дадените количества, курабийките, изядени от всяко момиче ще са преброени два пъти.

(11 + 15 + 14) : 2 = 40 : 2 = 20


3.

Ани и Таня тежат заедно 40 кг, Таня и Мими – 50 кг, Мими и Ваня – 90 кг, Ваня и Диди – 100 кг, а Диди и Ани – 60 кг. Колко кг тежи Ани?


Решение:

(А + Т) + (Д + А) = 40 + 60 = 100

(А + Т) + (Д + А) = 2A + (Т + Д)

2A + (Т + Д) = 100 (1)

(Т + М) + (М + B) + (B + Д) = 50 + 90 + 100 = 240

(Т + М) + (М + B) + (B + Д) = (T + Д) + 2(M + B)

(T + Д) + 2(M + B) = 240

T + Д = 240 – 2.90 = 60 (2)

Заместваме (2) в (1) :

2A + 60 = 100 A = 20 кг


4.

Трима каубои влезли в бар. Първият си купил 4 сандвича, чаша кафе и 10 понички за 1долар и 69 цента. Вторият – 3 сандвича, чаша кафе и 7 понички за 1долар и 26 цента. Колко е заплатил третият за 1 сандвич, 1 кафе и 1 поничка ?


Решение:

От това, което е заплатил 1-я можем да разберем колко струват 8 сандвича, 2 кафета и 20 понички:

8с + 2к + 20п = 2.1,69 = 3,38 (1)

От това, което е заплатил 2-я можем да разберем колко струват 9 сандвича, 3 кафета и 21 понички:

9с + 3к + 21п = 3.1,26 = 3,78 (2)

(2) – (1) = 1с + 1к + 1п = 3,78 – 3,38 = 0,40

Третият е заплатил 40 цента.


5.

Един сапфир и два топаза са три пъти по-скъпи от един изумруд. А седем сапфира и един топаз са осем пъти по-скъпи от един изумруд. Сапфира ли е по-скъп или топаза?


Решение:

с + 2т = 3и и = (c + 2т):3

7с + т =8и и = (7с + т):8

(c + 2т):3 = (7с + т):8 13с = 13т

Струват еднакво.


6.

Трима ловци варили каша. За кашата първият дал 2 лъжици брашно, вторият – една, а третият – нито една, той се разплатил с 5 патрона. Как първите двама трябва да разпределят патроните помежду си?


Отговор: Всички патрони трябва да получи първия ловец, тъй като третият е изял една от неговите две лъжици брашно.


7.

Във вълшебната страна живеят само тролове и гоблини. Дракон изял ¼ от всички тролове и ¼ от всички гоблини. Вярно ли е, че е изядено половината население на страната?


Решение: Не.

Ако в страната са живеели х трола и у гоблина, общото население е х+ у

Изядени са (1/4)х + (1/4)y = (1/4)(x+y) , т.е. ¼ от населението на страната.


8.

Петър изразходва 1/3 от денонощието в игра на футбол,1/5 в училище, 1/6 за да гледа филми, 1/70 за решаване на задачи и 1/3 за сън. Възможно ли е това?


Решение:




Не.


Нерешени задачи



  1. 1.В една американска фирма служителите били демократи или републиканци. След като един републиканец решил да стане демократ, републиканците и демократите станали поравно. След това още трима републиканци решили да станат демократи и тогава демократите станали 2 пъти повече от републиканците. Колко служители има фирмата?
  2. 2.Асен и Боби имат общо 11 ореха, Асен и Васил – общо12, а Боби и Васил – общо 13. Колко ореха имат общо тримата?
  3. 3.Топче и кубче тежат колкото два цилиндъра, едно топче – колкото едно кубче и един цилиндър, а три цилиндъра – колкото две топчета. Колко кубчета тежат колкото едно топче?
  4. 4.Иван взел назаем книга от приятел за три дни. Първият ден прочел половината книга, на втория – 1/3 от останалите страници, на третия – половината от прочетеното през първите два дни. Успял ли е Иван да прочете цялата книга за 3 дни?
  5. 5.Трима пътешественици спрели за почивка в селска къща. Помолили хазяйката да им свари картофи и легнали да спят. Тя сварила картофите, но не искала да ги буди. Оставила тенджерата на масата и излязла. Събудил се първият гост, преброил картофите, изял своята част и заспал отново. След това се събудил вторият. Той не знаел, че някой вече е изял своята част. Затова преброил картофите, изял една трета от тях и отново си легнал. По същия начин постъпил и третия. След като приятелите се наспали, видели, че в тенджерата са останали 8 картофа. Колко картофа е сварила стопанката? По колко е изял всеки от пътниците и по колко още трябва да изяде, за да са разделени поравно?
  6. 6.На бал присъствали 43 души. Първата дама танцувала с 8 кавалера, втората – с 9, третата – с 10 и т.н. Последната дама танцувала с всички кавалери. Колко дами и колко кавалери имало на бала?


Част І - Диофантови уравнения
Част ІІ - Лъжа или истина
Част ІІІ - Принцип на включването и изключването
Част ІV - Познай на колко години съм
Част V
Част VІ - Принцип на Дирихле
Част VІІІ
Част ІХ



понеделник, 20 юли 2009 г.

Математическа логика 5 -7 клас – задачи и решения (Част VІ)

Принцип на Дирихле

Принцип на Дирихле: Ако в n чекмеджета се поставят n+1 предмета, поне в едно чекмедже има повече от един предмет.
Обобщен принцип на Дирихле: Ако в n чекмеджета разположим повече от к.n предмета, ще има поне едно чекмедже, в което има повече от к предмета.
Следствие от принципа на Дирихле: Ако сумата на n числа е S, сред тях има число не по-голямо от S/n и число не по-малко от S/n.

1.

В кутия има черни и бели топки. Какъв е най-малкият брой топки, които трябва да извадим насляпо, за да сме сигурни, че измежду тях има поне две с еднакъв цвят?
Решение: Цветовете са „чекмеджетата”, топките – предметите.
n=2 n+1=3 три топки

2.

В училище има 20 паралелки. В жилищен блок живеят 23 деца, които учат в това училище. Да се докаже, че от тях поне две учат в една паралелка.
Решение: Ако от живущите в блока има не повече от едно дете от паралелка, там би трябвало да живеят не повече от 20 деца. Децата са повече от 20, => има поне две деца от една паралелка.

3.

В магазин докарали 25 щайги с ябълки от три сорта. Във всяка щайга има ябълки само от един сорт. Да се докаже, че има поне 9 щайги с ябълки от един сорт.
Решение:
Ако от всеки сорт ябълки имаше по не повече от 8 щайги, щайгите общо биха били не повече от 8.3 = 24. Но те са 25. => От един сорт има поне 9 щайги с ябълки.

4.

Десет ученика на олимпиада решили общо 35 задачи. Някои от тях са решили само по 1,2 или 3 задачи. Докажете, че има такъв, който е решил поне 5 задачи.
Решение:
Ако има по един ученик решил по 1,  2 и 3 задачи, остават 10 – 3 = 7 ученика, решили общо 35 – (1+2+3)= 29 задачи, като всеки от тях е решил по повече от 3 задачи. Ако всеки от тези 7 у-ка беше решил по 4 задачи, общия брой на решените от тях задачи би бил 7.4 = 28, но те са 29. => Има поне един, който е решил поне 5 задачи.

Нерешени задачи

  1. 1.В училище има 30 паралелки и 1000 ученика. Докажете, че има паралелка, в която има не по-малко от 34 ученика.
  2. 2.Машинописка напечатала 25 страници и направила 102 грешки. Докажете, че има страница, на която е направила повече от 4 грешки.
  3. 3.В клас има 30 ученика. На диктовка най-много грешки направил Васил- 12. Другите направили по-малко. Докажете, че има поне трима, които са направили по еднакъв брой грешки.
Част І - Диофантови уравнения Част ІІ - Лъжа или истина Част ІІІ - Принцип на включването и изключването Част ІV - Познай на колко години съм Част V Част VІІ Част VІІІ Част ІХ

Математическа логика 5 -7 клас – задачи и решения (Част V)

1.Три приятелки отишли на абитуриентски бал в бяла, червена и синя рокля. Обувките им били в същите цветове. Само при Таня цветът на роклята и обувките съвпадали. Валя била с бели обувки. При Лора нито роклята, нито обувките били червени. Какви са цветовете на роклята и обувките на всяко момиче?

Отг. Таня – червена рокля, червени обувки
Валя – синя рокля, бели обувки
Лора – бяла рокля, сини обувки

2.Срещнали се трима приятели – Белев, Чернев и Рижев. „Косите на един от нас са бели, на другия – черни, а на третия рижи, но у нито един от нас цветът на косите не отговаря на фамилията” – отбелязал чернокосия. „Ти си прав” – потвърдил Белев.
Кой с какви коси е?

Отговор: Белев – рижи, Чернев – бели, Рижев – черни.

3.Трима мъже са облечени с различни връхни дрехи – сако, яке и палто. От трите твърдения: „Димитър е облечен със сако”, „Росен няма сако” и „Петър няма яке”, само едно е вярно. Кой с какво е облечен?

Отг. Димитър – яке, Росен – сако, Петър - палто

4.В стая има 85 балона – сини и червени. Известно е, че:
1/ Има поне един червен балон
2/ От произволно избрана двойка балони поне един е син.
Колко са червените балони?

Решение: Може ли да има два червени балона?
Тъй като от всяка двойка балони единия винаги е син, няма два червени балона.
1 червен и 84 сини

5.В моливник не всички моливи са с еднакъв цвят и не всички са с еднаква дължина. Докажете, че има два молива, които се различават и по цвят и по дължина.

Решение: Взимаме два молива с различна дължина. Ако те се различават и по цвят, задачата е изпълнена. Ако са еднакви по цвят, взимаме трети, който се различава от тях по цвят. Той ще се различава по дължина поне с един от предишната двойка. Заедно с него образува търсената комбинация.

6.В една кутия има 2 бели топки, във втората – 2 черни, а в третата – 1 черна и 1 бяла. На трите кутии има надписи ББ, ЧЧ и БЧ и всичките са грешни. Как с изваждането на една топка да се определи съдържанието на всички кутии?

Решение: Изваждаме 1 топка от кутията с надпис БЧ. Ако тя е бяла, в тая кутия е комбинацията ББ, в кутията с надпис ББ е комбинацията ЧЧ, а в тази с надпис ЧЧ е БЧ. Ако извадената топка е черна, в тази кутия е комбинацията ЧЧ, в кутията с надпис ББ – комбинацията БЧ, а кутията с надпис ЧЧ – комбинация ББ.

7.В кошница има 30 гъби – печурки и манатарки. Измежду всеки 12 гъби има поне една печурка, а измежду всеки 20 - поне една манатарка. Колко печурки и колко манатарки има в кошницата?

Решение: За да сме сигурни, че ще извадим печурка, трябва преди това да сме извадили всички манатарки.
12 гъби – 1 печурка = 11 манатарки
За да сме сигурни, че ще извадим манатарка, трябва да сме извадили всички печурки.
20 гъби – 1 манатарка= 19 печурки

8.По заявка на потребител

Кирил, Радко,Петър и Димитър учат в едно и също училище.Фамилите им са Кирилов, Радков, Петров и Димитров, но на никой фамилията не съвпада с името.До училище Радков винаги пътува с автобус, а Петър отива пеша.Радков и Кирил са приятели.Радко не дружи с Петров.Петър и Кирилов днес са за риба.Определете фамилията на всяко от момчетата.

Решение: Правим таблица като в най-лявата колона пишем личните имена на момчетата, а в най-горния ред фамилиите. След което започваме с "да" и "не" да попълваме информацията, която ни е дадена в условието на задачата. Първото, което ни е известно е, че нито при един името и фамилията не съвпадат:






Радков и Петър пътуват по различен начин => не са едно и също лице:






Радков и Кирил са приятели => също не са едно и също лице:






Виждаме, че в колонката на Радков остана само едно празно място, което попълваме с "да":






След като вече знаем фамилията на Димитър, останалите празни места в неговата редичка попълваме с "не":


Радко не дружи с Петров =>не са едно и също лице.


В колонката на Петров остава едно празно место, което попълваме с "да":





Допълваме празното място в редичката на Кирил и "не" за Петър и Кирилов /щом са заедно за риба, значи не са едно и също лице:






След това последователно запълваме празните места в колонката на Кирилов, редичката на Радко и редичката на Петър и крайният резултат е:






Нерешени задачи

1.Малвина получила подарък. Буратино смята, че това е червена панделка. Пиеро е уверен, че това е синя панделка. Артемон твърди, че са подарени бели пантофки. Какъв е подаръкът, ако всеки е описал вярно или вида, или цвета на подаръка?
2.Трима приятели, Петър, Румен и Стоян, учат във физическия, математическия и химическия факултет. Ако Петър е математик, Стоян не е физик. Ако Румен не е физик, Петър е математик. Ако Стоян не е математик, Румен е химик. Определете специалността на всеки от тях.
3.Известно е, че сред членовете на правителството на Лимония / 20 човека/ поне един е честен човек, а в произволно избрана двойка поне един е мошеник. Колко са мошениците в правителството?
4.Сред 40-те делви, с които главатаря на разбойниците отишъл на гости у Али Баба, имало поне 2 с различна форма и поне 2 с различен цвят. Докажете, че има поне две, които са и с различен цвят, и с различна форма.
5.Майката на Виктор купила от Била банани и мандарини, общо 40 плода. Измежду всеки 11 плода има поне 1 мандарина, измежду всеки31 поне 1 банан. Колко мандарини и колко банана е купила майката на Виктор?

Част І - Диофантови уравнения
Част ІІ - Лъжа или истина
Част ІІІ - Принцип на включването и изключването
Част ІV - Познай на колко години съм
Част VІ - Принцип на Дирихле
Част VІІ
Част VІІІ
Част ІХ



 

Категории

Математическа логика

Математически приказки

Химия