Математическа логика 5 -7 клас – задачи и решения ( Част ІV )

Познай на колко години съм

1.

Дядото е на толкова години, на колкото месеца е внучката. Заедно те са на 91 години. На колко години е всеки от тях?

Решение: Ако дядото е на х години, внучката е на х месеца или х/12 години.

х + (x/12) =91

(13/12)x=91

х= 84

Дядото е на 84 години, а внучката на 84 месеца = 7 години.

2.

Петър след две години ще бъде на два пъти повече години, отколкото е бил преди две години. А Петя след три години ще бъде на три пъти повече години, отколкото е била преди три години. На колко години е всеки от двамата сега?

Решение: Сега Петър е на х години, а Петя - на у.

x + 2 = 2(x – 2)

x = 3

y + 3 = 3(y – 3)

y = 6

3.

Бащата е на толкова години, на колкото са синът и дъщерята заедно. Синът е два пъти по-голям от сестра си и 20 години по млад от бащата. На колко години е всеки от тях?

Решение: Син- х години, дъщеря х/2, баща х + 20

х + 20 = х + 0,5х х= 40

Син – 40 г., дъщеря – 20 г., баща – 60 г.

4.

Лили е с 8 години по-голяма от Нина. Преди две години, тя е била 3 пъти по-голяма от Нина. На колко години е Лили сега?

Решение: Лили – х, Нина – х-8

х-2 = 3(x-8-2)

x=14

5.

Сестрата е на 3 пъти повече години, отколкото е бил брата, когато сестрата е била на неговите години. Когато братът бъде на толкова години, колкото е сестрата сега, сумата от годините им ще бъде 28. На колко години са сега братът и сестрата?

Решение:

„Били” - брат - х г. , сестра - у г.

Сега - брат - у г., сестра- 3х г.

Разликата в годините им винаги е една и съща.

=>3х – у = у – х

2х = у

Разликата им е у-х = 2х-х = х

„Ще бъдат” - братът на 3х, а сестрата на 3х+х

3х+3х+х= 28

х=4

Сега братът е на у=2х=8 год., а сестрата на 3х=12 год.

Задачи без решение

1.Дядото, бащата и синът са общо на 100 г. Бащата и синът са общо на 45 г. Синът е с 25 г. по-млад от бащата. На колко години е всеки от тях?

2. Бащата е 4 пъти по-стар от сина, а сумата от годините им е 50. След колко години бащата ще е 2 пъти по-стар от сина?

3. Когато Саня била на толкова години, на колкото е Аня сега, леля Поли била с една година по-млада, отколкото са Аня и Саня сега заедно. На колко години е била Саня, когато леля Поли е била на толкова години, на колкото е Саня сега?

4. Сега ние с жена ми сме общо на 63 години и аз съм на 2 пъти повече години, отколкото беше тя, когато аз бях на толкова, на колкото е тя сега. На колко години е всеки от нас сега?

5. Дядото е на 64, а внукът – на 16. След колко години дядото ще стане 3 пъти по-стар от внука?

Част І

Част ІІ

Част ІІІ

Част V

Част VІ

Част VІІ

Част VІІІ

Част ІХ

Математическа логика 5-7 клас – задачи и решения ( Част ІІІ )

Принцип на включването и изключването

1. В клас има 25 ученика. По време на час 18 от тях рисуват с флумастери по чиновете, 10 правят хартиени самолетчета , а трима се занимават прилежно. Колко ученика от този клас едновременно рисуват по чиновете и правят самолетчета? ( Да се занимава прилежно и едновременно с това да рисува по чина или да прави самолетчета за сега никой не умее.)

Решение: При преброяването децата, занимаващи се с две неща едновременно ще бъдат преброени по два пъти. От общия брой деца изключваме тези,които със сигурност се занимават само с едно нещо- 3-та, които учат прилежно. Остават 22 деца. Общият брой на рисуващите и правещите самолетчета е 10+ 18 =28, което е с 6 повече от броя на децата. Значи 6 деца, които едновременно правят самолетчета и рисуват са били преброени два пъти.

2. Учениците от едно училище изучават или английски, или немски, или и двата езика. Тези, които изучават английски са 905. Немски изучават 530 деца, а 425 изучават и двата езика. Какъв е броят на учениците в училището?

Решение: 905 + 530 = 1435 изучават поне един от двата езика. Тези, които изучават и двата езика (425) , са преброени два пъти.

1435 – 425 = 1010

Броят на учениците в училището е 1010.

3. В един клас има 35 ученика. От тях 20 ходят на СИП по математика, 11 на СИП по биология, а 10 не посещават часове по СИП. Колко ученика посещават СИП и по двата учебни предмета.

Решение: Посещаващите СИП и по двата учебни предмета са преброени два пъти. От общия брой на учениците вадим тия, които не биха могли да бъдат преброени два пъти, т.е. тия които не посещават никакъв СИП.

35 – 10 = 25

Децата, които посещават поне един СИП са 25.

Като съберем посещаващите двата СИП –а 20 + 11 = 31

31 – 25 = 6 Това е броят на учениците, които са преброени два пъти, т.е. тези, които посещават СИП и по двата учебни предмета.

4. Клас от 30 ученика прави контролна работа. 25 ученика решили първата задача, 24 – втората, 23 – третата и 22 – четвъртата. Колко ученика най-малко са решили и четирите задачи?

Решение:

30 – 25 = 5 у-ка не са решили 1 – та задача

30 – 24 = 6 у-ка не са решили 2 – та задача

30 – 23 = 7 у-ка не са решили 3 – тата задача

30 – 22 = 8 у-ка не са решили 4 – тата задача

5 + 6 + 7 + 8 = 26 у – ка не са решили или 1 – та, или 2 – та, или 3 –тата, или 4 –тата задача.

30 – 26 = 4 у-ка са решили и четирите задачи.

5. Четирима приятели пресметнали, че ако съберат парите си, всички без тия на първия са 90лв, всички без тия на втория са 85 лв., всички без тия на третия са 80, всички без тия на четвъртия са 75 лв. По колко пари е имал всеки от тях?

Решение: Имали общо х лв.

90 + 85 + 80 + 75 = 3х, защото всеки от тях участва в посочените суми по 3 пъти

х = 110 лв.

110 – 90 = 20 лв. имал първия

110 – 85 = 25 лв. имал втория

110 – 80 = 30 лв. имал третия

110 – 75 = 35 лв. имал третия

Задачи без решения:

1.Художник за един месец рисува 42 картини. На 17 от тях е нарисувана гора, на 29 – река, а на 13 – и едното, и другото. На останалите е нарисувано нещо неразбираемо. На колко картини е нарисувано нещо неразбираемо?

2.В училище провели три олимпиади. На всяка от тях се явили по 50 ученика. 60 ученика са ходили само на една олимпиада, 30 – на две олимпиади. Колко ученика са участвали и в трите олимпиади?

3. От моите братя всички без трима са синеоки, всички без трима са русокоси и всички без един са или русокоси или синеоки. Нито един не е едновременно и русокос и синеок. Колко са моите братя?

Част І

Част ІІ

Част ІV

Част V

Част VІ

Част VІІ

Част VІІІ

Част ІХ

Математическа логика 5-7 клас – задачи и решения (Част ІІ )

Лъжа или истина

1. Златната ябълка
Тримата братя Иван, Добрин и Асен пазели златната ябълка. Един от тях убил ламята. На баща си разказали:
И : - Ламята уби Д.
Д : - Ламята уби А.
А: - Аз убих ламята.
Бащата знаел, че само един от тях казва истината, а другите двама лъжат. Кой е убил ламята?

Решение: Лъжат Д и А, защото изказват едно и също твърдение, а има само един, който казва истината. Следователно вярно е твърдението на И и ламята е убил Добрин.

2. Говорещи папагали
Един от папагалите А, В и С винаги казва истината, вторият е лъжец – винаги лъже, а третият е хитрец- понякога лъже, понякога казва истината. На въпроса „ Какъв е В?” , те отговорили:
А: - Лъжец!
В: - Аз съм хитрец!
С: - Абсолютно честен папагал!
Кой от папагалите е лъжец и кой е хитрец?

Решение: Ако С казва истината, В – лъже, а това е в противоречие с твърдението на С. Значи С лъже.
Ако В казва истината и е хитрец , излиза че А лъже. Но вече установихме, че С лъже. При това положение, няма папагал, който говори винаги истината. Следователно В също лъже.
А казва истината, В е лъжец, а С – хитрец, който в момента лъже.

3. Дребосъчето и Карлсон
Дребосъчето скрило от Карлсон буркана със сладко в една от три разноцветни кутии. На червената пишело:”Тук няма сладко”, на синята:”Сладкото е тук”, а на зелената:”Сладкото е в синята кутия”. Само един от тези надписи е верен. Къде е сладкото?
Решение: Ако надписът на червената кутия е верен:
1.В нея няма сладко.
2.Надписът на синята кутия е лъжлив и там няма сладко.
3.Надписът на зелената кутия също е лъжлив и сладкото не е в синята кутия и следователно е в зелената.

4.Принцесата и драконите
Има три стаи и на вратата на всяка от тях табела:
На първата:” В тази стая седи дракон”.
На втората:” В тази стая седи принцеса”.
На третата:” Във втората стая седи дракон”.
Само на една от табелите е написана истина. Освен това знаем, че има принцеса в една от стаите, а в другите две – дракони. В коя стая се намира принцесата?

Указание: Предположете последователно, че принцесата се намира в 1-та, 2-та1 3-та стая и пресметнете броя на твърденията, които са истина във всеки от случаите.

Отговор: Принцесата е в първата стая.

5.
Има три твърдения:
1.Твърдения 2 и 3 са лъжа.
2.Твърдения 1 и 3 са лъжа.
3.Твърдения 1 и 2 са лъжа.
Може ли поне едно от тях да бъде истина? А две? А всичките?

Отговор: Само едно може да бъде истина, но не може да се установи кое от трите.

Нерешени задачи

1.
Четири момчета се състезавали в бягане. За резултата казват:
А: - Аз не съм нито първи, нито четвърти.
Б: - Аз не съм първи.
В: - Аз съм първи.
Г: - Аз съм четвърти.
Само един лъже, а останалите казват истината. Кой лъже и кой е пръв?

2.
Петя казала, че чашката счупила Соня. Елена и Соня казали кой счупил чашката, но говорели толкова тихо, че никой не ги чул. Известно е, че едно от трите момичета е счупило чашката и само то казва истината. Кое е то?

3.
На остров живеят рицари, които винаги казват истината и лъжци, които винаги лъжат. Пътник срещнал трима островитяни и попитал всеки от тях:”Колко от твоите спътници са рицари?”. Първият отговорил:”Нито един”, втория:”Един”. Какво отговорил третият?

4.
На съд са изправени трима. Виновен е само един и той лъже. Невинните казват истината. Съдията попитал първия :”Виновен ли си ?” и след като получил отговор, попитал другите двама:” Истината ли каза първия?”. Вторият отговорил, че първият е казал истината, а третият, че е излъгал. Кой е престъпникът?

Част І
Част ІІІ
Част ІV
Част V
Част VІ
Част VІІ
Част VІІІ
Част ІХ