Математическа логика 5 -7 клас – задачи и решения (Част VІІ)

1.

На поляна имало 35 жълти и бели глухарчета. Осем бели отлетели, две жълти побелели и жълтите станали два пъти от белите. Колко жълти и колко бели глухарчета е имало първоначално на ливадата?

Решение: Накрая останали х бели и 2х – жълти.

х + 2х = 35 – 8 3х = 27 х = 9

Накрая останали 9 бели и 18 жълти.

Белите били 9 + 8 – 2 = 15 .

Жълтите били 18 + 2 = 20 .

2.

Три приятелки – Таня, Ваня и Саня , яли курабийки. Таня и Ваня изяли общо 11, Саня и Ваня – 15, а Таня и Саня – 14. Колко курабийки са изяли трите приятелки общо?

Решение: Ако съберем дадените количества, курабийките, изядени от всяко момиче ще са преброени два пъти.

(11 + 15 + 14) : 2 = 40 : 2 = 20

3.

Ани и Таня тежат заедно 40 кг, Таня и Мими – 50 кг, Мими и Ваня – 90 кг, Ваня и Диди – 100 кг, а Диди и Ани – 60 кг. Колко кг тежи Ани?

Решение:

(А + Т) + (Д + А) = 40 + 60 = 100

(А + Т) + (Д + А) = 2A + (Т + Д)

2A + (Т + Д) = 100 (1)

(Т + М) + (М + B) + (B + Д) = 50 + 90 + 100 = 240

(Т + М) + (М + B) + (B + Д) = (T + Д) + 2(M + B)

(T + Д) + 2(M + B) = 240

T + Д = 240 – 2.90 = 60 (2)

Заместваме (2) в (1) :

2A + 60 = 100 A = 20 кг

4.

Трима каубои влезли в бар. Първият си купил 4 сандвича, чаша кафе и 10 понички за 1долар и 69 цента. Вторият – 3 сандвича, чаша кафе и 7 понички за 1долар и 26 цента. Колко е заплатил третият за 1 сандвич, 1 кафе и 1 поничка ?

Решение:

От това, което е заплатил 1-я можем да разберем колко струват 8 сандвича, 2 кафета и 20 понички:

8с + 2к + 20п = 2.1,69 = 3,38 (1)

От това, което е заплатил 2-я можем да разберем колко струват 9 сандвича, 3 кафета и 21 понички:

9с + 3к + 21п = 3.1,26 = 3,78 (2)

(2) – (1) = 1с + 1к + 1п = 3,78 – 3,38 = 0,40

Третият е заплатил 40 цента.

5.

Един сапфир и два топаза са три пъти по-скъпи от един изумруд. А седем сапфира и един топаз са осем пъти по-скъпи от един изумруд. Сапфира ли е по-скъп или топаза?

Решение:

с + 2т = 3и и = (c + 2т):3

7с + т =8и и = (7с + т):8

(c + 2т):3 = (7с + т):8 13с = 13т

Струват еднакво.

6.

Трима ловци варили каша. За кашата първият дал 2 лъжици брашно, вторият – една, а третият – нито една, той се разплатил с 5 патрона. Как първите двама трябва да разпределят патроните помежду си?

Отговор: Всички патрони трябва да получи първия ловец, тъй като третият е изял една от неговите две лъжици брашно.

7.

Във вълшебната страна живеят само тролове и гоблини. Дракон изял ¼ от всички тролове и ¼ от всички гоблини. Вярно ли е, че е изядено половината население на страната?

Решение: Не.

Ако в страната са живеели х трола и у гоблина, общото население е х+ у

Изядени са (1/4)х + (1/4)y = (1/4)(x+y) , т.е. ¼ от населението на страната.

8.

Петър изразходва 1/3 от денонощието в игра на футбол,1/5 в училище, 1/6 за да гледа филми, 1/70 за решаване на задачи и 1/3 за сън. Възможно ли е това?

Решение:

Не.

Нерешени задачи

1. 1.В една американска фирма служителите били демократи или републиканци. След като един републиканец решил да стане демократ, републиканците и демократите станали поравно. След това още трима републиканци решили да станат демократи и тогава демократите станали 2 пъти повече от републиканците. Колко служители има фирмата?
2. 2.Асен и Боби имат общо 11 ореха, Асен и Васил – общо12, а Боби и Васил – общо 13. Колко ореха имат общо тримата?
3. 3.Топче и кубче тежат колкото два цилиндъра, едно топче – колкото едно кубче и един цилиндър, а три цилиндъра – колкото две топчета. Колко кубчета тежат колкото едно топче?
4. 4.Иван взел назаем книга от приятел за три дни. Първият ден прочел половината книга, на втория – 1/3 от останалите страници, на третия – половината от прочетеното през първите два дни. Успял ли е Иван да прочете цялата книга за 3 дни?
5. 5.Трима пътешественици спрели за почивка в селска къща. Помолили хазяйката да им свари картофи и легнали да спят. Тя сварила картофите, но не искала да ги буди. Оставила тенджерата на масата и излязла. Събудил се първият гост, преброил картофите, изял своята част и заспал отново. След това се събудил вторият. Той не знаел, че някой вече е изял своята част. Затова преброил картофите, изял една трета от тях и отново си легнал. По същия начин постъпил и третия. След като приятелите се наспали, видели, че в тенджерата са останали 8 картофа. Колко картофа е сварила стопанката? По колко е изял всеки от пътниците и по колко още трябва да изяде, за да са разделени поравно?
6. 6.На бал присъствали 43 души. Първата дама танцувала с 8 кавалера, втората – с 9, третата – с 10 и т.н. Последната дама танцувала с всички кавалери. Колко дами и колко кавалери имало на бала?

Част І - Диофантови уравнения
Част ІІ - Лъжа или истина
Част ІІІ - Принцип на включването и изключването
Част ІV - Познай на колко години съм
Част V
Част VІ - Принцип на Дирихле
Част VІІІ
Част ІХ

Математическа логика 5 -7 клас – задачи и решения (Част VІ)

Принцип на Дирихле

Принцип на Дирихле: Ако в n чекмеджета се поставят n+1 предмета, поне в едно чекмедже има повече от един предмет.

Обобщен принцип на Дирихле: Ако в n чекмеджета разположим повече от к.n предмета, ще има поне едно чекмедже, в което има повече от к предмета.

Следствие от принципа на Дирихле: Ако сумата на n числа е S, сред тях има число не по-голямо от S/n и число не по-малко от S/n.

1.

В кутия има черни и бели топки. Какъв е най-малкият брой топки, които трябва да извадим насляпо, за да сме сигурни, че измежду тях има поне две с еднакъв цвят?

Решение: Цветовете са „чекмеджетата”, топките – предметите.

n=2 n+1=3 три топки

2.

В училище има 20 паралелки. В жилищен блок живеят 23 деца, които учат в това училище. Да се докаже, че от тях поне две учат в една паралелка.

Решение: Ако от живущите в блока има не повече от едно дете от паралелка, там би трябвало да живеят не повече от 20 деца. Децата са повече от 20, => има поне две деца от една паралелка.

3.

В магазин докарали 25 щайги с ябълки от три сорта. Във всяка щайга има ябълки само от един сорт. Да се докаже, че има поне 9 щайги с ябълки от един сорт.

Решение:

Ако от всеки сорт ябълки имаше по не повече от 8 щайги, щайгите общо биха били не повече от 8.3 = 24. Но те са 25. => От един сорт има поне 9 щайги с ябълки.

4.

Десет ученика на олимпиада решили общо 35 задачи. Някои от тях са решили само по 1,2 или 3 задачи. Докажете, че има такъв, който е решил поне 5 задачи.

Решение:

Ако има по един ученик решил по 1,  2 и 3 задачи, остават 10 – 3 = 7 ученика, решили общо 35 – (1+2+3)= 29 задачи, като всеки от тях е решил по повече от 3 задачи. Ако всеки от тези 7 у-ка беше решил по 4 задачи, общия брой на решените от тях задачи би бил 7.4 = 28, но те са 29. => Има поне един, който е решил поне 5 задачи.

Нерешени задачи

1. 1.В училище има 30 паралелки и 1000 ученика. Докажете, че има паралелка, в която има не по-малко от 34 ученика.
2. 2.Машинописка напечатала 25 страници и направила 102 грешки. Докажете, че има страница, на която е направила повече от 4 грешки.
3. 3.В клас има 30 ученика. На диктовка най-много грешки направил Васил- 12. Другите направили по-малко. Докажете, че има поне трима, които са направили по еднакъв брой грешки.

Част І - Диофантови уравнения Част ІІ - Лъжа или истина Част ІІІ - Принцип на включването и изключването Част ІV - Познай на колко години съм Част V Част VІІ Част VІІІ Част ІХ

Математическа логика 5 -7 клас – задачи и решения (Част V)

1.Три приятелки отишли на абитуриентски бал в бяла, червена и синя рокля. Обувките им били в същите цветове. Само при Таня цветът на роклята и обувките съвпадали. Валя била с бели обувки. При Лора нито роклята, нито обувките били червени. Какви са цветовете на роклята и обувките на всяко момиче?

Отг. Таня – червена рокля, червени обувки
Валя – синя рокля, бели обувки
Лора – бяла рокля, сини обувки

2.Срещнали се трима приятели – Белев, Чернев и Рижев. „Косите на един от нас са бели, на другия – черни, а на третия рижи, но у нито един от нас цветът на косите не отговаря на фамилията” – отбелязал чернокосия. „Ти си прав” – потвърдил Белев.
Кой с какви коси е?

Отговор: Белев – рижи, Чернев – бели, Рижев – черни.

3.Трима мъже са облечени с различни връхни дрехи – сако, яке и палто. От трите твърдения: „Димитър е облечен със сако”, „Росен няма сако” и „Петър няма яке”, само едно е вярно. Кой с какво е облечен?

Отг. Димитър – яке, Росен – сако, Петър - палто

4.В стая има 85 балона – сини и червени. Известно е, че:

1/ Има поне един червен балон
2/ От произволно избрана двойка балони поне един е син.

Колко са червените балони?

Решение: Може ли да има два червени балона?
Тъй като от всяка двойка балони единия винаги е син, няма два червени балона.
1 червен и 84 сини

5.В моливник не всички моливи са с еднакъв цвят и не всички са с еднаква дължина. Докажете, че има два молива, които се различават и по цвят и по дължина.

Решение: Взимаме два молива с различна дължина. Ако те се различават и по цвят, задачата е изпълнена. Ако са еднакви по цвят, взимаме трети, който се различава от тях по цвят. Той ще се различава по дължина поне с един от предишната двойка. Заедно с него образува търсената комбинация.

6.В една кутия има 2 бели топки, във втората – 2 черни, а в третата – 1 черна и 1 бяла. На трите кутии има надписи ББ, ЧЧ и БЧ и всичките са грешни. Как с изваждането на една топка да се определи съдържанието на всички кутии?

Решение: Изваждаме 1 топка от кутията с надпис БЧ. Ако тя е бяла, в тая кутия е комбинацията ББ, в кутията с надпис ББ е комбинацията ЧЧ, а в тази с надпис ЧЧ е БЧ. Ако извадената топка е черна, в тази кутия е комбинацията ЧЧ, в кутията с надпис ББ – комбинацията БЧ, а кутията с надпис ЧЧ – комбинация ББ.

7.В кошница има 30 гъби – печурки и манатарки. Измежду всеки 12 гъби има поне една печурка, а измежду всеки 20 - поне една манатарка. Колко печурки и колко манатарки има в кошницата?

Решение: За да сме сигурни, че ще извадим печурка, трябва преди това да сме извадили всички манатарки.
12 гъби – 1 печурка = 11 манатарки
За да сме сигурни, че ще извадим манатарка, трябва да сме извадили всички печурки.
20 гъби – 1 манатарка= 19 печурки

8.По заявка на потребител

Кирил, Радко,Петър и Димитър учат в едно и също училище.Фамилите им са Кирилов, Радков, Петров и Димитров, но на никой фамилията не съвпада с името.До училище Радков винаги пътува с автобус, а Петър отива пеша.Радков и Кирил са приятели.Радко не дружи с Петров.Петър и Кирилов днес са за риба.Определете фамилията на всяко от момчетата.

Решение: Правим таблица като в най-лявата колона пишем личните имена на момчетата, а в най-горния ред фамилиите. След което започваме с "да" и "не" да попълваме информацията, която ни е дадена в условието на задачата. Първото, което ни е известно е, че нито при един името и фамилията не съвпадат:

Радков и Петър пътуват по различен начин => не са едно и също лице:

Радков и Кирил са приятели => също не са едно и също лице:

Виждаме, че в колонката на Радков остана само едно празно място, което попълваме с "да":

След като вече знаем фамилията на Димитър, останалите празни места в неговата редичка попълваме с "не":

Радко не дружи с Петров =>не са едно и също лице.


В колонката на Петров остава едно празно место, което попълваме с "да":

Допълваме празното място в редичката на Кирил и "не" за Петър и Кирилов /щом са заедно за риба, значи не са едно и също лице:

След това последователно запълваме празните места в колонката на Кирилов, редичката на Радко и редичката на Петър и крайният резултат е:

Нерешени задачи

1.Малвина получила подарък. Буратино смята, че това е червена панделка. Пиеро е уверен, че това е синя панделка. Артемон твърди, че са подарени бели пантофки. Какъв е подаръкът, ако всеки е описал вярно или вида, или цвета на подаръка?
2.Трима приятели, Петър, Румен и Стоян, учат във физическия, математическия и химическия факултет. Ако Петър е математик, Стоян не е физик. Ако Румен не е физик, Петър е математик. Ако Стоян не е математик, Румен е химик. Определете специалността на всеки от тях.
3.Известно е, че сред членовете на правителството на Лимония / 20 човека/ поне един е честен човек, а в произволно избрана двойка поне един е мошеник. Колко са мошениците в правителството?
4.Сред 40-те делви, с които главатаря на разбойниците отишъл на гости у Али Баба, имало поне 2 с различна форма и поне 2 с различен цвят. Докажете, че има поне две, които са и с различен цвят, и с различна форма.
5.Майката на Виктор купила от Била банани и мандарини, общо 40 плода. Измежду всеки 11 плода има поне 1 мандарина, измежду всеки31 поне 1 банан. Колко мандарини и колко банана е купила майката на Виктор?

Част І - Диофантови уравнения
Част ІІ - Лъжа или истина
Част ІІІ - Принцип на включването и изключването
Част ІV - Познай на колко години съм
Част VІ - Принцип на Дирихле
Част VІІ
Част VІІІ
Част ІХ