Математическа логика 5 -7 клас – задачи и решения (Част V)

1.Три приятелки отишли на абитуриентски бал в бяла, червена и синя рокля. Обувките им били в същите цветове. Само при Таня цветът на роклята и обувките съвпадали. Валя била с бели обувки. При Лора нито роклята, нито обувките били червени. Какви са цветовете на роклята и обувките на всяко момиче?

Отг. Таня – червена рокля, червени обувки
Валя – синя рокля, бели обувки
Лора – бяла рокля, сини обувки

2.Срещнали се трима приятели – Белев, Чернев и Рижев. „Косите на един от нас са бели, на другия – черни, а на третия рижи, но у нито един от нас цветът на косите не отговаря на фамилията” – отбелязал чернокосия. „Ти си прав” – потвърдил Белев.
Кой с какви коси е?

Отговор: Белев – рижи, Чернев – бели, Рижев – черни.

3.Трима мъже са облечени с различни връхни дрехи – сако, яке и палто. От трите твърдения: „Димитър е облечен със сако”, „Росен няма сако” и „Петър няма яке”, само едно е вярно. Кой с какво е облечен?

Отг. Димитър – яке, Росен – сако, Петър - палто

4.В стая има 85 балона – сини и червени. Известно е, че:

1/ Има поне един червен балон
2/ От произволно избрана двойка балони поне един е син.

Колко са червените балони?

Решение: Може ли да има два червени балона?
Тъй като от всяка двойка балони единия винаги е син, няма два червени балона.
1 червен и 84 сини

5.В моливник не всички моливи са с еднакъв цвят и не всички са с еднаква дължина. Докажете, че има два молива, които се различават и по цвят и по дължина.

Решение: Взимаме два молива с различна дължина. Ако те се различават и по цвят, задачата е изпълнена. Ако са еднакви по цвят, взимаме трети, който се различава от тях по цвят. Той ще се различава по дължина поне с един от предишната двойка. Заедно с него образува търсената комбинация.

6.В една кутия има 2 бели топки, във втората – 2 черни, а в третата – 1 черна и 1 бяла. На трите кутии има надписи ББ, ЧЧ и БЧ и всичките са грешни. Как с изваждането на една топка да се определи съдържанието на всички кутии?

Решение: Изваждаме 1 топка от кутията с надпис БЧ. Ако тя е бяла, в тая кутия е комбинацията ББ, в кутията с надпис ББ е комбинацията ЧЧ, а в тази с надпис ЧЧ е БЧ. Ако извадената топка е черна, в тази кутия е комбинацията ЧЧ, в кутията с надпис ББ – комбинацията БЧ, а кутията с надпис ЧЧ – комбинация ББ.

7.В кошница има 30 гъби – печурки и манатарки. Измежду всеки 12 гъби има поне една печурка, а измежду всеки 20 - поне една манатарка. Колко печурки и колко манатарки има в кошницата?

Решение: За да сме сигурни, че ще извадим печурка, трябва преди това да сме извадили всички манатарки.
12 гъби – 1 печурка = 11 манатарки
За да сме сигурни, че ще извадим манатарка, трябва да сме извадили всички печурки.
20 гъби – 1 манатарка= 19 печурки

8.По заявка на потребител

Кирил, Радко,Петър и Димитър учат в едно и също училище.Фамилите им са Кирилов, Радков, Петров и Димитров, но на никой фамилията не съвпада с името.До училище Радков винаги пътува с автобус, а Петър отива пеша.Радков и Кирил са приятели.Радко не дружи с Петров.Петър и Кирилов днес са за риба.Определете фамилията на всяко от момчетата.

Решение: Правим таблица като в най-лявата колона пишем личните имена на момчетата, а в най-горния ред фамилиите. След което започваме с "да" и "не" да попълваме информацията, която ни е дадена в условието на задачата. Първото, което ни е известно е, че нито при един името и фамилията не съвпадат:

Радков и Петър пътуват по различен начин => не са едно и също лице:

Радков и Кирил са приятели => също не са едно и също лице:

Виждаме, че в колонката на Радков остана само едно празно място, което попълваме с "да":

След като вече знаем фамилията на Димитър, останалите празни места в неговата редичка попълваме с "не":

Радко не дружи с Петров =>не са едно и също лице.


В колонката на Петров остава едно празно место, което попълваме с "да":

Допълваме празното място в редичката на Кирил и "не" за Петър и Кирилов /щом са заедно за риба, значи не са едно и също лице:

След това последователно запълваме празните места в колонката на Кирилов, редичката на Радко и редичката на Петър и крайният резултат е:

Нерешени задачи

1.Малвина получила подарък. Буратино смята, че това е червена панделка. Пиеро е уверен, че това е синя панделка. Артемон твърди, че са подарени бели пантофки. Какъв е подаръкът, ако всеки е описал вярно или вида, или цвета на подаръка?
2.Трима приятели, Петър, Румен и Стоян, учат във физическия, математическия и химическия факултет. Ако Петър е математик, Стоян не е физик. Ако Румен не е физик, Петър е математик. Ако Стоян не е математик, Румен е химик. Определете специалността на всеки от тях.
3.Известно е, че сред членовете на правителството на Лимония / 20 човека/ поне един е честен човек, а в произволно избрана двойка поне един е мошеник. Колко са мошениците в правителството?
4.Сред 40-те делви, с които главатаря на разбойниците отишъл на гости у Али Баба, имало поне 2 с различна форма и поне 2 с различен цвят. Докажете, че има поне две, които са и с различен цвят, и с различна форма.
5.Майката на Виктор купила от Била банани и мандарини, общо 40 плода. Измежду всеки 11 плода има поне 1 мандарина, измежду всеки31 поне 1 банан. Колко мандарини и колко банана е купила майката на Виктор?

Част І - Диофантови уравнения
Част ІІ - Лъжа или истина
Част ІІІ - Принцип на включването и изключването
Част ІV - Познай на колко години съм
Част VІ - Принцип на Дирихле
Част VІІ
Част VІІІ
Част ІХ