Математическа логика 5 -7 клас – задачи и решения (Част VІ)

Принцип на Дирихле

Принцип на Дирихле: Ако в n чекмеджета се поставят n+1 предмета, поне в едно чекмедже има повече от един предмет.

Обобщен принцип на Дирихле: Ако в n чекмеджета разположим повече от к.n предмета, ще има поне едно чекмедже, в което има повече от к предмета.

Следствие от принципа на Дирихле: Ако сумата на n числа е S, сред тях има число не по-голямо от S/n и число не по-малко от S/n.

1.

В кутия има черни и бели топки. Какъв е най-малкият брой топки, които трябва да извадим насляпо, за да сме сигурни, че измежду тях има поне две с еднакъв цвят?

Решение: Цветовете са „чекмеджетата”, топките – предметите.

n=2 n+1=3 три топки

2.

В училище има 20 паралелки. В жилищен блок живеят 23 деца, които учат в това училище. Да се докаже, че от тях поне две учат в една паралелка.

Решение: Ако от живущите в блока има не повече от едно дете от паралелка, там би трябвало да живеят не повече от 20 деца. Децата са повече от 20, => има поне две деца от една паралелка.

3.

В магазин докарали 25 щайги с ябълки от три сорта. Във всяка щайга има ябълки само от един сорт. Да се докаже, че има поне 9 щайги с ябълки от един сорт.

Решение:

Ако от всеки сорт ябълки имаше по не повече от 8 щайги, щайгите общо биха били не повече от 8.3 = 24. Но те са 25. => От един сорт има поне 9 щайги с ябълки.

4.

Десет ученика на олимпиада решили общо 35 задачи. Някои от тях са решили само по 1,2 или 3 задачи. Докажете, че има такъв, който е решил поне 5 задачи.

Решение:

Ако има по един ученик решил по 1,  2 и 3 задачи, остават 10 – 3 = 7 ученика, решили общо 35 – (1+2+3)= 29 задачи, като всеки от тях е решил по повече от 3 задачи. Ако всеки от тези 7 у-ка беше решил по 4 задачи, общия брой на решените от тях задачи би бил 7.4 = 28, но те са 29. => Има поне един, който е решил поне 5 задачи.

Нерешени задачи

1. 1.В училище има 30 паралелки и 1000 ученика. Докажете, че има паралелка, в която има не по-малко от 34 ученика.
2. 2.Машинописка напечатала 25 страници и направила 102 грешки. Докажете, че има страница, на която е направила повече от 4 грешки.
3. 3.В клас има 30 ученика. На диктовка най-много грешки направил Васил- 12. Другите направили по-малко. Докажете, че има поне трима, които са направили по еднакъв брой грешки.

Част І - Диофантови уравнения Част ІІ - Лъжа или истина Част ІІІ - Принцип на включването и изключването Част ІV - Познай на колко години съм Част V Част VІІ Част VІІІ Част ІХ